はじめまして。

> 前に珍しく仕事の帰りが一緒だったので食事に誘ってみたところ、予定があると言われてしまいました。（僕もかなり急に誘ってしまったので仕方ないかと思います）
> 少し間を空けてもう少し誘ってみようかと思っています。

それよりも、ジムの見学に誘われたのならそれを実現させたら？と思います。
別に食事に拘らなくてもいいでしょ。
見学帰りに時間があれば、お茶してもいいし。

> このような状況から努力次第で僕のことを恋愛対象として見てもらえる可能性はあるでしょうか？

「可能性」はゼロではないと思います。

> また、今後どのようにアプローチしていけばいいかアドバイスお願いします。

あなたは「友達のようなポジション」と書かれていますが、そこまでもいっていないと感じます。

社交的なタイプというのは、誰に対しても一見オープンに接しますが、
プライベートなことに関しては、どこかできっちり一線を引いていることが多いです。（そういう部分は本当に仲の良い人にしか見せません）
友達だったら、そういう部分も普通に話してると思います。

相手のことをもっと知りたくないですか？

今の関係はただの同僚だと思うので、まずは友達の関係を目指したら？と思います。