初めまして。
私なら、熱があることは やはり少なからず好意があり心配してほしい人にしか言わないと思います。用事や約束があり、それを断わなければならない場合は正直に言いますが、特に言わなくてもいい場合は黙っています。

いきなり訪ねられたり、近くまで来てるっとか言われると少し戸惑います。実家ということで頼れる人(ご家族)がいますし買い物に行けないって事も無いと思うんです。ただ家庭環境は分かりませんので、たまたま皆忙しく､､､とか。なので、まずはメールで。
体調はどうかな、ご飯は食べれてる？ちゃんと栄養のあるもの食べないとダメだよ。くらいだと心配してくれてるんだなって思えますし、その後の返信内容で次も変わってくると思います。

あまり食欲がないって言われれば、お粥とかも無理かな？食べれそうなものがあれば持って行くよ。家の人に渡すか玄関にでも置いとくし遠慮せず言ってね。とか？
もう大丈夫そうとか、来て欲しくなさそうなら､､､メールで起こしてごめんね。ゆっくり休んでください。元気になったらお茶でも行こう！奢るから(^^ゞくらいだと嬉しいかな？

全部私の感覚なので違うかもしれませんが(><)

素っ気無い分析者　さま：
返信アドバイスありがとうございます！
彼氏ならともかく、自分は何者かと冷静に考えると、どうしても二の足を踏んでしまいます。
ご家族もいるし、一人で熱くなってるだけという思いも強いです

優　さま：
アドバイスに感謝します！
「お大事に。自分にできることあれば言って下さい。」ぐらいはメールしましたが、落ち着かない自分がいるのも事実です。相手のことを考えると、ゆっくり休んでもらいたいと思うし。
先に行く旨伝えるのも手ですね。

他の皆様も御意見いただければ幸いです。

熱を出したことは普通仲が良くなければ話さないと思います。

わざわざそういうメールがきたということは
何らかの心配をしてほしい、もしくは見舞いにきてほしいのかもしれません。

断られるかもしれないですが、見舞いにいく旨を伝えるのも良いかもしれません。（もしくはもうすぐ近くまできていると）

いずれにしても何らかの行動はしたほうが良い気がします。

現在の立場は同僚ですから、自宅訪問の正当性は確保しにくいですね。

家族としては、戸惑いを禁じえないと思われます。