おはようございます。
今回の喧嘩？は彼女の意思は気持ちは関係なく、
どちらが悪いか？同じ事を繰り返さないためには、どうしたら良いか？について、はっきりするべきだと思います。

今回の喧嘩の発端は、これまで休憩所=昼休みは にプライベートな話をして仲良くしてきましたが、自分の昼休みは一時間守れば、どのタイミングで取っても良いことになってます。
相手は毎日、今日は○時、明日は○時と決まっているらしいですが、これまで共有はしてませんでした。

先月食堂近くで「昼休みに話したいことがあります。今週のどっかでお願いします。」
と伝えましたが、たまたま夕方、彼女が仕事として僕の仕事部屋に来たことがありました。
自分も仕事中だったのでプライベートな話をするきは無かったんですが、彼女から「話ってなんですか？」と話しかけられました。

僕は今話すとは思わなかったしお互い仕事中だったので、断りましたが、それでも「私は今が委員ですが」と引き下がりませんでした。

僕も困ったので、昼休みに話そうと日程調整のために相手の部署に伺ったら、仕事中なので困りますと言われました。

それが後程昼休みに喧嘩になったわけです。
彼女が休憩所に来るのは気分しだいなので、
僕は今日は話したくないと思った日にやって来ることもあるので嫌だなと感じることがありました。

そういうのも含めて、今後は職場内では挨拶のみ、休憩時間はお互い干渉しない。プライベートな話し(ジャニーズ等共通の趣味)はプライベートでする。と線引きしようと思いました。

プライベートなきっかけ作りをいきなり一対一ではなく、皆でご飯に行きませんか？と弟さんに相談したいわけです。弟さんから好きな人に伝えていただこうと考えてます。

男性でしたか。では、私のは「彼」を「彼女」にして読んでください。

そして信頼できる人が彼女の弟さんなら、それこそ弟さんに「彼女と喧嘩をしたんだけど、仲裁に君をお願いしたいと思うんだけど、お姉さんはそれを良しとするだろうか」とまずは聞いてみたらと思います。

こんにちは、自分は男です。
相談相手は好きな人の弟さんです。
お互いにとってプライベートな話や相談しやすいかんけいです。弟さん以外、共通の知り合いや相談出来る相手がいないんです。

もしも間に人を挟むのなら錦鯉さんと同じ意見なんですが……

>くだらない内容です。

だとしたら「こんなくだらない話に他人を巻き込むな！」って激怒されませんか？

>感情的になっている人と話し合うのはしんどいな、こわいなと思ってまして

そんな考え方で、その方とこれから付き合い続けられるのでしょうか？
彼が感情的になるのがよくあることだった場合、これからも同じことが起きるでしょう。
その都度間に誰かに入ってもらうというのは無理だと思うので、あなたもなれる必要が出てくると思います。

慣れると思えますか？

一度そこも考えてみてください。
この1回で彼は二度と感情的にならない可能性もあるけど、さらに感情的になって二度と他人を巻き込むなとあなたを責める可能性もあります。
彼はどちらのタイプだと思いますか？

＞信頼できる共通の知り合いに相談しようかと考えてます。

①信頼できる、というのが貴女だけでなく彼からも同様である

②彼と友人の人間関係が、少なくとも同等か、彼の方が上であることが必要

①と②が両方満たされていないと意味がありません。

②が満たされない場合は友人より師などの方がいいです。

彼に納得できな部分があっても言うことをきけないと意味がないからです。